I. INTRODUCCIÓN.
El problema de la planificación de la transmisión consiste
en determinar el crecimiento necesario de la red de potencia en orden a
satisfacer la demanda en un cierto período de tiempo.
La planificación puede ser clasificada en estática y
dinámica. La planificación estática involucra una etapa, por ejemplo, dada la
configuración inicial de la red y el pronóstico generación/demanda para el
horizonte del problema
se quiere determinar un plan de expansión de mínimo costo. El caso
dinámico estudia un plan año a año, desde el inicio hasta el horizonte de
planificación.
La principal dificultad proviene de la naturaleza combinatorial del proceso de
planificación,
que normalmente
conduce a un incremento explosivo del número de
1
Ingeniero Civil Electricista, U. de Chile. Ph.D. University of
Waterloo, Canadá. Profesor Asociado, Depto. de Ingeniería
Eléctrica, Universidad de Chile. 2 Ingeniero Civil Electricista,
Universidad de Chile.
alternativas que deben ser analizadas. Por lo tanto se
requieren representaciones simplificadas del sistema de potencia, que en general
conducen a problemas de optimización mixta.
En la literatura internacional se han propuesto tres grandes
familias de algoritmos para resolver el problema:
· Modelos heurísticos, en su mayoría basados en análisis de
sensibilidad [1,2,3,4,5,6] que rara vez encuentran la solución óptima de
problemas reales.
· Métodos de optimización exacta, que usan técnicas de
descomposición matemática [7,8,9].
· Algoritmos combinatoriales, como annealing simulado
[10] y
algoritmos genéticos [13].
Los métodos exactos y combinatoriales han sido los más
exitosos, si
bien, tienen
problemas de convergencia
(al usar directamente el modelo DC, que induce un problema
no lineal mixto), de esfuerzo computacional y de tiempo.
Este trabajo, toma como punto de partida el planteamiento
del problema en corriente continua (DC) y deriva una formulación lineal mixta
0-1 del problema de expansión. Luego se aplica descomposición de Benders que
separa el problema de planificación en dos subproblemas: un subproblema de
inversión llamado maestro
(lineal entero) y un subproblema de operación llamado esclavo (lineal) [14,15].
II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
Una red está compuesta de nodos, en los cuales se inyecta y
retira potencia, y las ramas o tramos que unen estos nodos. En el problema de
expansión se desea determinar en qué tramos colocar nuevas líneas y en qué
número. En un principio puede haber nodos desconectados de la red y se establece
qué tramos se considerarán para la expansión y el número máximo de líneas por
tramo.
II.1 Notación.
|
N |
:
número de nodos en la red |
|
|
:
ángulo de voltaje en nodos |
|
|
:
reactancia inicial tramo i |
|
|
:
potencia límite de línea j por tramo i |
|
|
:
variable binaria de inversión de la línea j por el tramo i |
|
ML(i) |
: máximo de líneas a agregar en tramo i |
|
g |
:
vector generación en nodos |
|
d |
:
vector demanda en nodos |
|
|
:
ramas conectadas al nodo k |
|
cij |
:
costo inversión línea j tramo i |
|
|
:
reactancia, susceptancia total tramo i |
|
S |
:
matriz incidencia nodo-rama |
|
ri |
:
potencia no servida nodo i |
|
|
:
potencia por rama i con circuitos existentes al inicio |
|
|
:
costo de operación nodo i |
|
|
:
potencia por rama i sin circuitos existentes al inicio |
Por ejemplo, la fig.1 muestra una red de 3 nodos, el nodo 2
desconectado, una línea existente en el tramo 3 (nodo 1 - nodo 3), dos variables
de inversión en el tramo 1 (nodo 1 - nodo 2) y una en los otros dos tramos.
Fig.
1: Ejemplo
Sistema 3 nodos.
II.2 Modelo de la Red.
En Planificación se usa el modelo de corriente continua de
la red de transmisión [7].
Balance de potencia activa en nodos:
(1)
Flujo por líneas:
(2)
Sin embargo, (2) hace que el problema sea no lineal, al
multiplicar variables de estado 
con variables 
que dependen de la inversión en la línea.
Una simplificación del problema es considerar que las líneas
que se agregan en un mismo tramo tienen la misma reactancia. Esto permite
calcular de antemano la reducción de la reactancia de un circuito o tramo al
agregar una línea adicional.
Circuito con M
líneas presentes antes de la expansión.
Si la reactancia por línea es 
en el tramo i, la reactancia del circuito baja
en 
al agregar la jésima
línea (esto es cuando 
), con lo que la reactancia por i tiene la forma
donde 
es la reactancia inicial.
Circuito sin
líneas antes de la expansión.
Similarmente, si la reactancia por línea es 
, al adicionar la jésima línea, la reactancia
total xi baja en 
II.3 Restricciones y Objetivos del
Problema.
Para mantener la linealidad del modelo lineal de corriente
continua (DC) al incluir las variables de inversión, se introducen las variables
auxiliares 
como se muestra a continuación.
Ecuaciones para tramo i con línea(s) existente(s).
La restricción de precedencia (6) indica que la jésima línea puede incorporarse si la (j-1)ésima línea ya lo ha hecho en un mismo tramo.
Supongamos que se instala hasta késima línea, esto es zik=1, de (6) se tiene zij=1 para j < k y zij=0 para j > k. Asimismo, de (2) y
(3) las variables 
tienen iguales cota superior e inferior, más
aún (4) y (5) asegura que estas variables sean idénticas ya que mij=0 para j £ k.
Por lo tanto la restricción (1) puede escribirse como
Recuperando la expresión típica del modelo lineal DC de la
ecuación (2) en la sección II.2.
Por otro lado, si zik=0, de
(3) y (6) se deduce que
y de (4) y (5) la variable 
se libera de 
para depender de las demás variables del
problema.
Ecuaciones para tramo i sin líneas existentes.
La explicación es similar a la anterior, pero en este caso
el flujo por el tramo toma la forma:
Si no se ha puesto ninguna línea (esto es zi1=0) las restricciones (1) y (1’) permiten romper la
relación entre los ángulos de los extremos del tramo.
.
Ecuaciones de Nodo.
Función
objetivo.
La constante 
se elige de tal forma que la parte
correspondiente a la inversión de la función objetivo sea más atractiva que el
término de penalización; o sea, el costo de agregar una línea o transformador
debe ser menor que dejar demanda sin servir.
Extensión al problema multietapa.
En este caso se considera más de una etapa y se redefinen
las variables de inversión zijt como
la situación al instante t, esto es zij(t-1) <
zijt , es
decir si la línea j en el tramo i se instala en la etapa t, permanecerá para las
etapas siguientes. La función objetivo queda:
Las restricciones son iguales al caso estático, pero en este
caso se repiten para cada etapa considerada.
II.4 Costos de Congestión.
Limitaciones en la capacidad de la red de transmisión pueden restringir el movimiento de potencia a grandes distancias, induciendo costos marginales más altos en ciertos nodos. Por ejemplo, supongamos dos grupos de generadores conectados por una sola línea y los consumidores ubicados en la región de generadores con costos mayores; la potencia fluye por la línea desde la zona de menor a la zona de mayor costo. Si la línea tiene un límite, en alta demanda, no toda la potencia podrá ser generada en la zona de menor costo, la demanda se completa con generación de mayor costo. La diferencia de los costos marginales entre ambas zonas se conoce como costo de congestión.
La aplicación de precios marginales de la energía en los
distintos nodos produce un excedente conocido como ingreso de la red IR
[17].
donde 
es el precio spot en el nodo k y corresponde al valor dual de
la ecuación de balance del nodo k (ecuación (2) sección II.2) en el despacho
económico, 
es lo que pagan los consumidores y 
lo que reciben los generadores. Puede
demostrarse que esta cantidad es igual a los costos de congestión y que a su vez
son iguales a la expresión:
donde 
es el valor dual de la restricción de flujo por
el tramo j
Notar que existen costos de congestión sólo cuando hay una o
más líneas saturadas, es decir la restricción de flujo está activa y el valor
dual correspondiente 
es positivo.
En este trabajo se plantea el problema de considerar
explícitamente los costos de congestión durante la optimización de la expansión.
En el anexo de la descomposición de Benders se explica cómo incluir estos costos
en la expansión.
III. METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN.
En el problema de expansión la descomposición en un problema
de operación o esclavo y un problema de inversión o maestro es natural. El
proceso completo de Benders se discute en [14] [15] y en el apéndice se le
aplica a la
formulación del problema planteado.
Algoritmo Básico.
1. Inicializar las variables de inversión zij =
0
2. Inicializar una cota superior para la solución de la
operación 
> 0 y tolerancia 
> 0.
3. Resolver el subproblema de operación w
para el nivel actual de
inversión.
Si 
parar, el nivel de inversión actual
es el óptimo. Si no, agregar un nuevo corte de Benders al subproblema de
inversión y hacer
w.
4. Resolver el problema de inversión. Volver a 3.
IV. VERIFICACIÓN Y APLICACIÓN DEL MODELO.
Se ha utilizado el código MOMIP v2.3 (1996) (Modular
Optimizer for Mixed Integer Programming) [11] para resolver los subproblemas de
inversión y operación.
Se han usado dos redes, la red de Garver de 6 barras y un
modelo simplificado del SIC. En las figuras 2 y 3 se observan diagramas de estas
redes. Las líneas punteadas denotan tramos nuevos, además se considera el
refuerzo de tramos existentes. La red de Garver se ocupa en el caso estático y
el SIC se ocupa tanto en el caso estático como dinámico, con un horizonte de 9
años, desde 1997 hasta el 2005, un incremento anual de demanda de 7,5%. Para el
caso multietapa se consideran 5 etapas de 2 años cada una y el Plan de Obras de
Generación entregado por la CNE.
|
Año de Entrada |
Central |
|
1997 |
Nueva Renca |
|
1998 |
San Isidro-Nehuenco |
|
1999 |
Rucúe |
|
2000 |
Cortaderal |
|
2002 |
Ralco |
Tabla I : Plan Indicativo de Obras 1sem 1997.
Fig. 3. Modelo Red
Garver
Efecto de la limitación en el flujo por
líneas.
A menudo en Planificación de la Transmisión se consideran restricciones de contingencia (o restricciones de seguridad), que obligan a operar la red a niveles capaces de soportar (instantáneamente) la caída de algún elemento, como una línea o un transformador (Criterio N-1). Estas restricciones llevan generalmente a limitar los flujos por ciertas líneas por debajo de su límite térmico. En la Tabla II se observa la expansión estática de la red de Garver (sin pérdidas, costos de operación uniformes) cuando se restringe el flujo en cada línea a 85% y 70% de la capacidad térmica.
|
CAPACIDAD |
ADICIONES |
INCREMENTO EN INVERSIÓN | |
|
100 % |
Tramo 4-6: 3 líneas Tramo 3-5: 1 línea |
| |
|
85 % |
Tramo 4-6: 3 líneas Tramo 3-5: 2 líneas Tramo 2-3: 1 línea |
35 % | |
|
70 % |
Tramo 4-6: 4 líneas Tramo 3-5: 2 líneas Tramo 2-3: 2 líneas |
82 % | |
TABLA II: Inversión con varias Capacidades. Garver.
Igualmente en el caso estático con el SIC (sin pérdidas) en
la Tabla III.
Puede observarse en ambos casos un significativo incremento
de la inversión cuando se consideran restricciones de seguridad. Este hecho,
junto con las economías de escala propias de la transmisión, explica la
sobreinversión que se ve en esta área.
CAPACIDAD |
ADICIONES |
INCREMENTO EN INVERSIÓN |
|
100 % |
Tramo 5-20: 2 líneas Tramo 3-18: 2 líneas Tramo 20-22: 1 línea Tramo 24_25: 1 línea Tramo 7-25: 1 línea Tramo 2-3: 1 línea Tramo 9-19: 1 línea |
|
|
85 % |
Tramo 5-20: 2 líneas Tramo 3-18: 2 líneas Tramo 20-22: 1 línea Tramo 24-25: 1 línea Tramo 7-25: 1 línea Tramo 2-3: 1 línea Tramo 9-19: 1 línea Tramo 5-6: 1 línea Tramo 7-8: 1 línea |
9 % |
TABLA III: Inversión con varias Capacidades. SIC.
Efecto de la
Hidrología.
El SIC se caracteriza por su estructura radial, con
generación mayoritariamente hidráulica ubicada en el sur de la red y gran parte
de la demanda en el centro. Por lo tanto con gran disponibilidad de agua, hay un
mayor uso de la red de transmisión desde las centrales hidráulicas en el Sur,
hacia el Norte; por otro lado, en época seca, se utiliza la generación térmica
que se ubica cerca de los centros de consumo [13]. Al hacer la expansión
estática 1997-2005, puede observarse que las necesidades de inversión en la red
de transmisión son mayores mientras mayor es el aporte de generación hidráulica
que se espera disponer en el futuro.
|
TRAMO |
INVERSIÓN CASO SECO |
INVERSIÓN CASO NORMAL |
INVERSIÓN CASO HÚMEDO |
|
2-3 |
1 |
1 |
1 |
|
3-18 |
2 |
2 |
1 |
|
5-6 |
|
|
1 |
|
5-20 |
2 |
2 |
2 |
|
7-25 |
1 |
1 |
1 |
|
9-19 |
|
1 |
|
|
19-24 |
1 |
|
1 |
|
24-25 |
1 |
1 |
1 |
|
3-15 |
|
|
1 |
|
20-22 |
1 |
1 |
1 |
TABLA IV: Inversión con distintas hidrologías. SIC.
El costo de inversión en el caso húmedo es 30% mayor que en
el caso seco. Mientras más disponibilidad de potencia hidráulica exista, las
inversiones se concentran en fortalecer o ampliar la capacidad de transmisión
desde la zona sur hacia el norte.
Efecto
de las economías de escala.
Para conectar Ralco al SIC se consideraron dos
posibilidades, ya sea en 220 kV o 500 kV hasta la S/E Ancoa. En todos los
resultados (Tablas III y IV) la inversión obtenida es en 500 kV. Esto es debido
al bajo costo por
kW transmitido a voltajes mayores. Una comparación relativa de estos
costos a distintos niveles de voltaje es
|
NIVEL |
COSTO CIRCUITO SIMPLE LÍNEA ALUMINIO |
|
154 |
0.125 US$/kW/km |
|
220 |
0.05 US$/kW/km |
|
500 |
0.02 US$/kW/km |
TABLA V : Costos de Inversión SIC.
Efecto de los Costos de
Congestión.
Considerando costos de operación en los nodos:
C1=C6=0.5 $/MWH y C3=0.8
$/MWH e incluyendo las pérdidas, se compara la expansión estática con y sin
costos de congestión. En este caso el costo de inversión es 8% mayor en la
expansión que resulta al considerar los costos de congestión en el proceso; sin
embargo los costos de operación son 6% menores.
|
CON CONGESTIÓN |
SIN CONGESTIÓN |
|
Tramo 4-6: 2 líneas Tramo 3-5: 1 línea Tramo 2-6: 2 líneas |
Tramo 4-6: 3 líneas Tramo 3-5: 1 línea Tramo 2-3: 1 línea |
TABLA
VI: Inversión
Con/Sin Congestión.
Por otro lado, los costos marginales de la energía en los
nodos son menores en la expansión que considera la congestión, como puede
observarse en el Gráfico 1.
Gráfico 1. CMg en Nudos. Expansión c/s congestión.
Comparación Caso
Estático con Caso Multietapa.
Se obtienen los resultados de la Tabla VII.
|
CON CONGESTIÓN |
SIN CONGESTIÓN |
|
Tramo 9-19: 1 línea en etapa 2 (1999) Tramo 5-20: 2 líneas en etapa 3 (2001) Tramo 20-22: 1 línea en etapa 3 (2001) Tramo 3-18: 2 líneas en etapa 2 Tramo 24-25: 1 línea en etapa 4 (2003) Tramo 7-25: 1 línea en etapa 4 (2003) Tramo 5-6: 2 líneas en etapa 3 (2001) |
Tramo 9-19: 1 línea en etapa 2 (1999) Tramo 5-20: 2 líneas en etapa 3 (2001) Tramo 20-22: 1 línea en etapa 3 (2001) Tramo 3-18: 2 líneas en etapa 2 Tramo 24-25: 1 línea en etapa 4 (2003) Tramo 7-25: 1 línea en etapa 4 (2003) Tramo 9-23: 2 líneas en etapa 3 (2001) |
El costo de Inversión para el caso con congestión es
levemente superior (1%) al caso sin congestión y los resultados sólo difieren en
las inversiones en los tramos 5-6 y 9-23.
V. CONCLUSIONES.
Se ha presentado un modelo lineal mixto para la
planificación de la expansión de la transmisión. La ventaja del presente
planteamiento es su linealidad ya que mantiene las condiciones de un modelo de
corriente continua de la red. Por otro lado, la aplicación de la descomposición
de Benders, permite considerar distintos escenarios de operación que impactan de
distinta manera el uso de la red de transmisión, como por ejemplo la
disponibilidad de agua en los embalses en el caso chileno.
Al considerar además los costos de congestión en el proceso
de inversión, se obtienen resultados que cuantifican de manera preliminar el
costo de las inversiones para evitar la saturación de los principales tramos de
una red eléctrica.
APENDICE:
DESCOMPOSICIÓN DEL PROBLEMA.
Se presenta la aplicación de la descomposición [14,15] al
problema de expansión estático. La extensión al caso multietapa es directa.
Problema de Operación.
w = 
Tramos con
líneas existentes.
Tramos con
líneas inexistentes.
Las variables de decisión zik
permanecen constantes durante la solución del subproblema de operación.
Problema de Inversión.
Los cortes de Benders están dados por (i.1)
donde wk es el
valor óptimo del problema de operación y 
es la sensibilidad del valor óptimo
wk con
respecto a la variable de decisión zij.
Tramo con
línea(s)
existente(s)
Tramo sin
líneas.
son los valores duales en la solución óptima de las
restricciones del tipo (o1.2),(o1.3),(o1.4),(o1.5),(o2.1),(o2.2) respectivamente.
Costos
de Congestión.
Se usa como estrategia, considerar los costos de congestión
en el subproblema de inversión. Como se sabe, el término 
del problema de inversión es una aproximación
de los costos futuros de
operación como consecuencia de las decisiones de inversión z. Se considera que
el costo de congestión en un tramo saturado, es decir, que está transmitiendo su
máxima potencia, se alivia colocando la próxima línea posible (esto es
zl=1), luego
a cada corte de Benders se agrega el término :
Recordando la expresión para el costo de congestión visto
antes, se tiene
dejando el corte como
AGRADECIMIENTOS.
Se agradece el
financiamiento aportado por el Proyecto Fondecyt 1000940.
REFERENCIAS.
[1]
A. Monticelli, A. Santos, M.V.F. Pereira, S.H. Cunha, B. J. Parker, J. C.
G. Praca, “Interactive Transmission Network Planning Using a Least Effort
Criterion”. IEEE Transactions PAS-101, No. 10, pp.3919-3925, oct. 1982.
[2] M. V. F. Pereira, L. M. V. G. Pinto, “Application of
Sensitivity Analysis of Load Supplying Capability to Interactive Transmission
Expansion Planning”. IEEE Transactions PAS-104, No. 2, pp. 381-389, feb.
1985.
[3] L. L. Garver, “Transmission Network Estimation Using Linear
Programming”. IEEE Transactions PAS-89, No. 7, pp.1688-1697, set/oct 1970.
[4] R.Villasana, L. L. Garver and S.J. Salon, “Transmission
Network Planning Using Linear Programming”. IEEE Transactions PAS-104, No. 2,
pp.349-356, feb. 1985.
[5] M. V. F. Pereira, L. M. V. G. Pinto, S. H. F. Cunha and G.
C. Oliveira, “A Decomposition Approach to Automated Generation/Transmission
Expansion Planning”. IEEE Transactions PAS-104, No. 11, pp. 3074-3081, nov.
1985.
[6] Latorre-Bayona G.,Pérez-Arriaga I., “Chopin, a heuristic
model for long term transmission expansion planning”. IEEE PES 1994 Winter Power
Meeting, New York.
[7] R. Romero, A. Monticelli, “A Hierarchical Decomposition
Approach for Transmission Network Expansion Planning”. IEEE Transactions on
Power Systems, Vol. 9, No. 1, pp. 373-380, feb. 1994.
[8] G. C. Oliveira, A. P. C. Costa, S. Binato, “Large Scale
Transmission Network Planning Using Optimization and Heuristic Techniques” IEEE
Transactions on Power Systems, Vol. 10, No. 4, pp. 1828-1833, nov. 1995.
[9] Romero R.,Monticelli A., “A Zero-One Implicit Enumeration Method for Optimizing Investments in Transmission Expansion Planning”. IEEE Transactions on Power Systems, vol. 9, No. 3, aug. 1994.
[10] R. Romero, R. A. Gallego and A. Monticelli,
“Transmission System Expansion Planning by Simulated Annealing”. IEEE
Transactions on Power Systems, Vol. 11, No. 1, feb. 1996.
[11] Wlodzimierz Ogryczak, Krystian Zorychta, “Modular
Opimizer for Mixed Integer Programming MOMIP Version 2.3” Working Paper 96-106,
sept. 1996, IIASA Institute for Applied Systems Analysis, Austria.
[12] B.G.Gorenstin, N.M.Campodonico J.P.Costa M.V.F. Pereira, “Power System Expansion Planning Under Uncertainity”. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 8, No. 1,
february 1993.
[13] Hugh Rudnick, Rodrigo Palma, Eliana Cura, Carlos Silva, “Economically Adapted
Transmission Systems in Open access Schemes - Application of Genetic
Algorithms”
IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 11, No. 3, aug. 1996.
[14] M.V.F. Pereira L.M.V.G. Pinto, “Stochastic Optimization of a
hydroelectric system: a decomposition approach”. Water Resources Research, vol. 21(6),
1985.
[15] Geoffrion A.M., “Generalized Benders
Decomposition”.
Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 10, No. 4,
1972.
[16] A. Sharifnia, “Transmission Network Planning: A Method
for synthesis of Minimum-Cost Secure Networks”.
IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-104, No. 8 ; aug. 1985.
[17] I. J. Pérez-Arriaga, “Marginal Pricing of Transmission Services: An Analysis of Cost Recovery”. IEEE Transactions on Power Systems, feb. 1995.
