CORRIENTES DE CIRCULACIÓN EN UN FLUJO TIPO COUETTE: COMPARACIÓN ENTRE MODELACIÓN BIDIMENSIONAL

Y OBSERVACIONES ^*

 

 

Ingrid Hillmer ¹    Yarko Niño ²      Rodrigo Musalem ³        Laura Reyes ³

 

 

RESUMEN

Se presentan resultados de un estudio numérico y experimental sobre corrientes de circulación en un flujo inducido por un esfuerzo de corte aplicado en la superficie libre de un líquido contenido en un estanque rectangular.  Este tipo de flujo es análogo al que se genera por efecto del viento sobre un cuerpo de agua de extensión finita.  El estudio numérico consistió en plantear las ecuaciones de Navier-Stokes en un sistema bidimensional, para el flujo en el estanque, en conjunto con un modelo tipo k-e para la turbulencia.  Las ecuaciones se resuelven numéricamente utilizando el software comercial FLUENT.  La simulación del campo de flujo en el sistema se realiza en función de la razón largo/alto del estanque y el número de Reynolds del flujo.  La validación de la modelación numérica se efectúa mediante la comparación con resultados de un estudio experimental realizado en una instalación que permite generar un flujo tipo Couette en un estanque rectangular.  La experimentación consistió en la medición de perfiles verticales de velocidad media del flujo en el estanque, utilizando técnicas de velocimetría a partir de imágenes de video.  La comparación de los resultados numéricos con los experimentales muestran una concordancia general de los perfiles de velocidad media simulados y medidos.  En particular, los perfiles muestran la presencia de una fuerte corriente superficial en el sentido de aplicación del esfuerzo de corte y una débil corriente de retorno en la zona inferior del flujo.  Existen, sin embargo, diferencias importantes entre las distribuciones de velocidad simuladas y medidas, las que se explican por la existencia, en el estanque de experimentación, de corrientes de circulación horizontal imposibles de resolver a partir de la modelación bidimensional del flujo.

 

 

1.-  INTRODUCCIÓN.

 

El flujo generado por un esfuerzo de corte aplicado en la superficie libre de un líquido en un estanque de extensión finita se asemeja a aquel generado por el viento en cuerpos de agua tales como lagos o embalses.  El viento es el principal agente que genera energía cinética turbulenta y corrientes en dichos cuerpos de agua (Alfaro, 1999) y por lo tanto este tipo de flujo tiene gran relevancia desde el punto de vista de los procesos de transporte en sistemas ambientales.  Dada la complejidad de los flujos generados en estas condiciones, es deseable contar

	*  Trabajo presentado en el XIV Congreso Chileno de Hidráulica, Santiago, noviembre 1999. [1] Instructor, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Chile. 2 Profesor Asistente, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Chile. 3 Ayudante de Investigación, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Chile.

 

 

 

 

 

 

con una herramienta que permita simular adecuadamente la estructura vertical del flujo, ya que la difusión turbulenta de energía cinética turbulenta generada por el viento en la cercanía de la superficie libre determina los procesos de transporte que ocurren en la columna de agua, los que afectan la calidad del recurso.  En el caso más simple, correspondiente a un estanque rectangular de extensión finita, el flujo tipo Couette inducido por la aplicación de un esfuerzo de corte en la superficie libre es de carácter bidimensional, y por lo tanto es necesario resolver no sólo la estructura vertical del flujo sino que también  su   variación  en la  dirección  del  esfuerzo  de

corte.

 

 

 

 

 

En este trabajo se presentan resultados de un estudio numérico y experimental sobre corrientes de circulación en un flujo inducido por un esfuerzo de corte aplicado en la superficie libre de un líquido contenido en un estanque rectangular.  Se plantea un modelo matemático bidimensional del problema y las ecuaciones resultantes se resuelven numéricamente utilizando el paquete computacional FLUENT.  Por otro lado, el estudio experimental se realiza en un estanque de experimentación que utiliza una cinta transportadora para aplicar el esfuerzo de corte.  Se utilizan métodos de medición de velocidades a partir de imágenes para determinar experimentalmente perfiles verticales de la velocidad media del flujo en el estanque.

 

2.    MODELACION MATEMÁTICA Y NUMÉRICA.

 

2.1  ECUACIONES FUNDAMENTALES.

Para la simulación numérica se utiliza un paquete computacional FLUENT, el cual permite formular un modelo bidimensional para resolver la estructura vertical y horizontal del flujo, incorporando el modelo de cierre de la turbulencia k-e.  Las ecuaciones que rigen el problema, promediadas sobre la turbulencia en fluido incompresible se presentan a continuación:

 

 

 

1)   Continuidad.

 

donde u representa la velocidad horizontal, x representa el eje horizontal en la dirección del viento, w la velocidad vertical y z es el eje vertical con el origen en fondo del cuerpo de agua.

 

 

 

 

 

 

 

2)   Ecuación de cantidad de movimiento.

 

 

 

 

 

donde r_r es la densidad de referencia del agua, t corresponde al tiempo, p representa la presión, n es la viscosidad cinemática d el agua y n_t, la viscosidad cinemática de remolino. Esta última se determina a partir del modelo k-e.

 

3) Ecuación para la viscosidad cinemática de remolino.

           

 

donde k representa la energía cinética turbulenta y e la disipación de esta energía y c_m  (=0,09) es un coeficiente empírico.

 

4) Ecuación para la energía cinética turbulenta.

 

 

 

5) Ecuación para la tasa de disipación la energía cinética turbulenta.

 

donde

 

 

En estas ecuaciones s_k (=1,4) y s_e  (=1,3), representan los números turbulentos de Prandtl/Schmidt (Rodi, 1984), y c₁ (=1,44), c₂ (=1,92), son coeficientes empíricos, cuyos valores corresponden a los valores típicos del modelo k-e estándar.

 

Las condiciones de borde para la ecuación de cantidad de movimiento corresponden a una condición del tipo Neumman (de flujo) en la superficie libre, que corresponde al esfuerzo de corte t_s conocido, y a una de tipo Dirichlet en el fondo, que corresponde a la condición de no resbalamiento. Para k y e se establecieron valores conocidos cerca del fondo y de la superficie libre, según lo especificado por Rodi (1984).

 

2.2  RESULTADOS DE LAS SIMULACIONES.

 

Un ejemplo del tipo de resultados que se pueden obtener de las simulaciones realizadas con el presente modelo se presenta en la Fig. 1.  Estos resultados corresponden a un estanque con una razón L/H = 40 y a un número de Reynolds Re_s = u_s H/v = 80000, e incluyen el campo vectorial de velocidades medias en el estanque y perfiles verticales de velocidad horizontal, energía cinética turbulenta y tasa de disipación de dicha energía a lo largo del estanque.  El flujo inducido por el esfuerzo de corte en el estanque presenta claramente una corriente de circulación con vorticidad negativa respecto de la definición de ejes coordenados en el sistema.  El flujo es en la dirección del esfuerzo de corte en una región cercana a la superficie que abarca aproximadamente el 30% de la altura total del flujo, y presenta un alto valor del gradiente vertical de velocidad horizontal.  En cambio, en la región más profunda del estanque el flujo corresponde a una corriente de retorno con velocidades del orden del 10% de la velocidad del flujo en la superficie libre y con valores menores del gradiente vertical de velocidades.  Por otro lado, las simulaciones muestran que tanto la energía cinética turbulenta como la tasa de disipación de dicha energía exhiben un máximo en la superficie libre, y tienden a decrecer en profundidad, lo cual señala que la energía cinética turbulenta proviene esencialmente del esfuerzo de corte ejercido en la superficie libre, y que el flujo se encuentra aproximadamente en equilibrio local donde la producción de energía cinética turbulenta iguala a su disipación localmente.

            Con el objeto de analizar los perfiles verticales de velocidad horizontal a lo largo del estanque, obtenidos de la aplicación del presente modelo, se grafican en la Fig. 2 resultados de la velocidad adimensional u/u_s, donde u_s denota la velocidad en la superficie libre, en función de la altura adimensional z/H, en las secciones ubicadas en x/L = 0.12, 0.49 y 0.93, para distintos valores de los parámetros L/H y Re_s que se indican en la Tabla 1.

 

Tabla 1.  Valores de L/H y Re_s en los experimentos numéricos de la Fig. 2.

 

 

 

En la Fig. 2 puede apreciarse que para x/L = 0.49, en todos los casos analizados se obtiene un buen colapso de los perfiles adimensionales de velocidad horizontal u/u_s, lo cual indica que estos perfiles son autosimilares al menos en la región central del flujo.  Los análisis realizados indican que la región central se extiende más longitudinalmente a medida que aumenta la razón L/H, y por lo tanto es posible concluir que en dicha región el flujo es uniforme y esencialmente unidimensional.  En las otras ubicaciones analizadas (x/L = 0.12 y 0.93) se aprecia que los perfiles dejan de ser autosimilares, particularmente para valores bajos de la razón L/H, condición para la que los efectos bidimensionales asociados a la presencia de las paredes que limitan longitudinalmente al flujo.  Del análisis global de los resultados obtenidos se concluye que las zonas de flujo bidimensional en los extremos del estanque tienen una extensión que escala con la profundidad del flujo.  Asimismo, del análisis de los resultados obtenidos se concluye que el número de Rey-nolds del flujo deja de ser un parámetro relevante para valores Re_s superiores a 50000.

 

3.   ESTUDIO EXPERIMENTAL.

 

3.1  INSTALACIÓN EXPERIMENTAL.

 

Los experimentos fueron realizados en una instalación, diseñada como parte del presente estudio, que utiliza una cinta transportadora para simular el esfuerzo de corte ejercido por el viento sobre la superficie libre de un cuerpo de agua (Alfaro, 1999).  La cinta ha sido montada en un estanque de paredes transparentes, de 1.80 m de largo y 0.25 m de ancho, ubicada a media altura, con lo cual se obtienen dos canales.  El canal superior se utiliza para realizar estudios con fondo deslizante y el canal inferior para desarrollar estudios con la aplicación de un esfuerzo de corte en la superficie del flujo.  El canal inferior tiene un fondo ajustable, lo que permite variar la profundidad del flujo.  La profundidad máxima que puede alcanzar el canal inferior es de 0.35 m.  La velocidad de la cinta puede ser variada alcanzando un máximo de 150 RPM, lo que equivale a 0.85 m/s.  Un esquema de la instalación experimental se presenta en Hillmer et al. (1999).

 

3.2  MÉTODO EXPERIMENTAL.

Para estudiar el campo de velocidades inducido en el estanque por el esfuerzo de corte aplicado en la superficie del agua, se escogen distintas secciones a lo largo del canal en las que se determina el perfil de velocidad media del flujo, utilizando técnicas de velocimetría a partir de imágenes de video (Musalem, 1999).  Para obtener las imágenes se utilizó un haz de luz de láser, el cual es convertido mediante un lente cilíndrico en un plano de luz que se hace incidir verticalmente sobre el flujo, orientado en la dirección longitudinal.  Para la medición de velocidades es necesario introducir trazadores al flujo, los cuales, dadas las velocidades relativamente pequeñas de los flujos generados, deben tener un peso boyante lo más cercano a cero posible.  Por otro lado, como se desea determinar sólo la velocidad media del flujo y no la turbulencia, no se requirió tamaños particularmente pequeños de los trazadores.  Después de probar con varios tipos de partículas plásticas, se decidió utilizar semillas de lechuga milanesa, las cuales tienen un tamaño suficientemente grande como para permitir su fácil visualización y un peso boyante prácticamente nulo.  Se grabaron imágenes de video de los trazadores en distintas secciones, las cuales fueron posteriormente digitalizadas y analizadas, con el objeto de determinar perfiles verticales de velocidad media del flujo, utilizando software desarrollado por Musalem (1999).

 

3.3  RESULTADOS EXPERIMENTALES.

Los resultados aquí presentados son de carácter preliminar y corresponden sólo a los perfiles verticales de velocidad media en dos secciones ubicadas en el eje del estanque, en las posiciones x = 0.9 m y x = 1.2 m del extremo de aguas arriba del estanque, medidas para una experiencia con una velocidad de la cinta de 0.29 m/s y una profundidad del flujo de 0.2 m.  El número de Reynolds Re_s asociado es de 58000.

En las Figs. 3 y 4 se presentan los valores medidos de las componentes horizontal y vertical de la velocidad media del flujo en el estanque de experimentación, respectivamente, para ambas secciones antes señaladas, las cuales corresponden a posiciones adimensionales x/L = 0.5 y 0.67.  Estos resultados muestran una fuerte corriente superficial en el sentido de desplazamiento de la cinta, la cual abarca alrededor del 10% al 20% de la profundidad total del flujo y que exhibe un alto gradiente vertical de velocidad horizontal .  En la zona inferior, el flujo corresponde a una clara corriente de retorno, la cual está asociada a velocidades horizontales inferiores al 10% de la velocidad de desplazamiento de la cinta.  Los perfiles verticales de velocidad media horizontal muestran una tendencia a que esta variable alcance un mínimo local para valores z/H = 0.5, sin embargo a valores mayores de z/H la velocidad vuelve a aumentar y el punto de velocidad nula no se ubica en ninguno de ambos casos bajo z/H = 0.8.  Por otro lado, en ambas secciones se observan valores positivos de la componente vertical de la velocidad media del flujo, lo cual implica la existencia de una corriente de circulación con vorticidad negativa con respecto a la orientación de los ejes coordenados x y z considerados en este caso.

Es necesario señalar que las observaciones realizadas del comportamiento de los trazadores en el flujo permiten concluir la existencia de una importante corriente de circulación horizontal en el estanque de experimentación. Esta corriente se generó a pesar de que se verificó que el estanque estuviera nivelado y que no presentara asimetrías de importancia.  Asimismo, se observó que el sentido de circulación no siempre se mantenía en distintos experimentos, lo cual indica que la circulación observada corresponde a una resultante natural de la inestabilidad del flujo y no responde a una situación forzante impuesta necesariamente por irregularidades importantes en la geometría del flujo.  Este resultado demuestra la facilidad con que pueden generarse circulaciones horizontales en un cuerpo de agua, particularmente en un caso con poca regularidad geométrica como lo es un cuerpo de agua natural, y apunta a la necesidad de avanzar la modelación de este tipo de flujos a nivel tridimensional o al menos cuasi-tridimensional (e.g., Colombini y Stocchino, 1999).

 

4.   ANÁLISIS Y COMPARACIÓN DE RESULTADOS.

 

Con el objeto de analizar los resultados de las presentes simulaciones numéricas, ellos se comparan con resultados experimentales.  En la Fig. 5 se muestra un ejemplo de tal comparación, donde se han utilizado los resultados de Baines y Knapp (1965).  Los resultados numéricos correspondientes a la zona donde el modelo predice perfiles de velocidad autosimilares concuerdan bastante bien con los experimentales, aún cuando los datos de Baines y Knapp indican que el punto de velocidad nula se ubica algo más cercano a la superficie libre que lo predicho por el presente modelo.  Similares resultados se obtienen de una comparación con los datos experimentales de Tsuruya et al. (1985).

Una comparación de los resultados de las simulaciones para las mismas condiciones de las experiencias aquí reportadas (L/H = 9, Re_s = 58000) se presentan en las Figs. 6 y 7, correspondientes a los perfiles verticales de las componentes horizontal y vertical de la velocidad media del flujo ubicados en  la sección x/L = 0.5.  Se concluye que si bien los valores del gradiente vertical de velocidad media horizontal en la cercanía de la superficie libre observados en las experiencias parece ser bien estimado por el modelo, el resto del perfil de velocidades horizontales simulados no se asemeja al medido.  En particular se observa que el punto experimental de velocidad nula se ubica más cercano a la superficie libre que lo que predice el modelo numérico y que el perfil experimental en la zona de la corriente de retorno es más uniforme que el simulado.  Con respecto a la componente vertical de la velocidad media del flujo, los resultados simulados se asemejan a los experimentales, excepto en la zona alta del flujo, donde las velocidades experimentales tienden a ser mayores que lo que predicen los resultados de las simulaciones.  Si bien el carácter general de los perfiles simulados se asemeja a los medidos, es obvio que la corriente de circulación horizontal observada en el estanque de experimentación, como se discutió previamente, introduce una deformación importante de los perfiles de flujo, lo cual no puede ser capturado con el modelo bidimensional aquí empleado.

 

Dado que los resultados de las simulaciones concuerdan con perfiles unidimensionales observados (e.g., Baines y Knapp, 1965; Tsuruya, 1985) se concluye que dicho modelo tiene validez en el caso de corrientes bidimensionales inducidas por un esfuerzo de corte en la superficie libre.  Sin embargo, la posibilidad de que dicho esfuerzo induzca flujos tridimensionales en cuerpos de agua levemente irregulares, tal como se observó en los presentes experimentos, conduce a la necesidad de extender el presente modelo al caso tridimensional.

 

5.   CONCLUSIONES.

La comparación de los resultados de la modelación numérica con resultados experimentales tanto disponibles en la literatura como generados como parte del presente estudio muestran una concordancia general de los perfiles de velocidad media simulados y medidos.  En particular, los perfiles muestran la presencia de una fuerte corriente superficial en el sentido de aplicación del esfuerzo de corte y una débil corriente de retorno en la zona inferior del flujo.  Existen, sin embargo, diferencias importantes entre las distribuciones de velocidad simuladas y medidas, las que se explican por la existencia, en el presente estanque de experimentación, de corrientes de circulación horizontal imposibles de resolver a partir de la modelación bidimensional del flujo.  Las presentes observaciones demuestran la facilidad con que pueden generarse circulaciones horizontales en un cuerpo de agua, particularmente en un caso con poca regularidad geométrica como lo es un cuerpo de agua natural, y señalan la necesidad de avanzar la modelación de este tipo de flujos a nivel tridimensional o al menos cuasi-tridimensional.

 

6.  AGRADECIMIENTOS.

 

Los autores agradecen el financiamiento otorgado por CONICYT a través del  Proyecto FONDAP en Mecánica Matemática.

 

7.  REFERENCIAS.

 

Alfaro, C. (1999).  "Una instalación experimental multiuso para el estudio de fenómenos de transporte y mezcla en flujos turbulentos".  Memoria para optar al título de Ingeniero Civil.  Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Chile.

 

Baines, W. D., y Knapp, D. J. (1965).  "Wind driven water current".  J. Hydr. Div., Vol. 91, No. HY2, pp. 205-221.

 

Colombini, M. y Stocchino, A. (1999).  "A quasi-3D model of wind driven circulation in enclosed basins".  IAHR Symposium on River, Coastal, and Estuarine Morphodynamics.  Genova, Italia.

 

Hillmer, I., Niño, Y., Alfaro, C., Reyes, L. y Caballero, R. (1999).  "Mediciones de mezcla turbulenta en una flujo estratificado usando imágenes de video".  Memorias del XIV Congreso Chileno de Hidráulica,  Santiago.

 

Musalem, R. (1999).  "Medición de campos de velocidades instantáneas en canales mediante procesamiento de imágenes".  Memoria para optar al título de Ingeniero Civil.  Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Chile.

Rodi, W. (1984).  "Turbulence models and their application in hydraulics".  IAHR Monograph.

 

Tsuruya, H., Nakano, S. y Kato, H. J. (1985).  "Experimental study on wind driven current in a wind-wave tank - Effect of return flow on wind driven current".  The Ocean Surface, pp. 425-430.

 

Z[m]     (a) X[m] Z[m] (b) X[m] Z[m] (c) X[m] Z[m] (d) X[m] Fig.1: a) Corriente de recirculación, b) perfil de velocidad, c) perfil de energía cinética turbulenta, d) perfil de la tasa de disipación en un flujo de Coutte, con us=0.2[m] y L/H=40.

Fig.2: Perfiles de velocidad autosimilares para distintos valores de la velocidad superficial L/H.

Fig.3: Perfil de velocidad horizontal adimensional para distintas secciones en canal.

Fig.4: Perfil de velocidad vertical adimensional para distintas secciones en canal.

Fig. 5: Comparación de los resultados de la simulación numérica con resultados experimentales de Baines y Knapp (1965).

Fig.6: Comparación entre los resultados para la velocidad horizontal de la simulación numérica y los resultados experiementales.

Fig.7: Comparación entre los resultados para la velocidad vertical de la simulación numérica y los resultados experimentales.